Впервые Бочкин снялся в кино в возрасте пятнадцати лет в роли пионера Кузьки Журавлёва в художественном фильме «Огоньки» (1972) режиссёра Бориса Рыцарева. Ассистент режиссёра заметила юношу в московском кинотеатре «Форум» и пригласила на кинопробы. Затем последовала ещё одна роль — Миша Башарин в детском художественном фильме «Красно солнышко» (1972).
В 1975-х—1977-х годах проходил военную службу по призыву в рядах Советской армии, служил в танковой роте повышенной боевой готовности, службу окончил в звании старшего сержанта.
В 1981 году окончил Государственный институт театрального искусства (ГИТИС) имени А. В. Луначарского. После института Бочкин был принят в штат труппы Московского драматического театра имени Н. В. Гоголя, где сразу стал играть главные роли. В этом театре актёр проработал до 1990 года.
Всероссийскую славу в конце 1980-х годов принесла роль в социальной трагикомедии «ЧП районного масштаба». Актёр сыграл комсомольского лидера, дискредитирующего коммунистические идеалы. Некоторые сцены вообще шокировали цензуру. Власти мгновенно запретили показ фильма, но грядущий кризис комсомола был уже очевиден. Только один ТВ-канал в Ленинграде осмелился продемонстрировать картину. Этого оказалось достаточно, чтобы Игорь Бочкин вместе с другими актёрами фильма стали знаменитыми.
С тех пор актёр регулярно появляется на экранах в образе крепких и бесстрашных мужчин.
Игорь Бочкин широко известен по ролям в фильмах: «Крепкий мужик», «Взбесившийся автобус» (снятый на основе захвата автобуса с детьми в Орджоникидзе в 1988 году), «Круг обречённых», «Горячев и другие», «Барханов и его телохранитель», «Тонкая штучка», «Женская логика-2», «Следствие ведут ЗнаТоКи», «Московская сага», «Заколдованный участок», «Диверсант 2: Конец войны», «Отставник. Позывной «Бродяга» и многие другие.
С 1995 по 2018 годы Игорь Бочкин — артист труппы Московского драматического театра имени А. С. Пушкина. Сам актёр считает служение в этом театре делом своей жизни. В 2006 году здесь же состоялся и режиссёрский дебют Игоря Бочкина: им поставлен спектакль «Прошлым летом в Чулимске» по одноимённой пьесе Александра Вампилова.
В 2005 году актёр получил звание народного артиста, а к 60-летию – медаль «За заслуги перед Отечеством».
В 2006 году актёр был участником шоу «Танцы со звёздами» на телеканале «Россия-1».
Игорь Иванович и сейчас продолжает службу в театре, участвует в антрепризных спектаклях, появляется на экранах в новых фильмах.