Родители с малых лет прививали Борису любовь к труду. Они не давали сыну карманных денег, поэтому, начиная с восьмого класса, Галкин стал подрабатывать. Будущий актёр трудился садовником в городских парках Риги. Ему даже понравилась эта работа. Когда, уже будучи известным актёром, Борис Галкин приобрёл свой дом, он с удовольствием сам возделывал приусадебный участок.
Познание всех тонкостей рабочей жизни у Бориса пробудило и другую сторону его натуры – он стал увлекаться искусством, которым не очень сильно интересовался в детстве. Галкин начал заниматься литературным чтением. Для этого он каждый вечер посещал студию, где вёл занятия актёр рижского драмтеатра Константин Григорьевич Титов. Именно Титов смог раскрыть талант будущего актёра. Он составил для воспитанника сольную программу из стихотворений Сергея Есенина, с которой Борис успешно выступал.
В итоге Галкин твёрдо решил стать актёром и отправился покорять Москву. В Театральном училище имени Бориса Щукина разглядели творческий потенциал абитуриента, и Борис был принят в мастерскую Веры Львовой. На курсе с Борисом Галкиным учились Александр Кайдановский и Леонид Филатов, которые стали выдающимися актёрами.
Борис Галкин начал сниматься с 1967 года (фильм «Возмездие») во время учёбы в театральном училище, которое он успешно окончил в 1969 году. Всего актёр снялся более чем в 70 фильмах и сериалах, среди которых «Свой среди чужих, чужой среди своих», «Такая короткая долгая жизнь», «Раба любви», «Судьба барабанщика», «Путешествие будет приятным», «В зоне особого внимания», «Емельян Пугачёв», «Мужской талисман», «Чёрный клоун», «Ожидание полковника Шалыгина», «Отставник», «Охота на гауляйтера», «Кровь за кровь», «Зеркало для героя», «Охотники за караванами», «Мы из будущего» и многие другие. Многим зрителям актёр знаком прежде всего по ролям военных и полицейских. Действительно, Борис Галкин успешно сыграл их огромное количество: от лейтенантов до генералов. А в 2021 году в военной драме Вадима Островского «Топор. 1943» предстал в образе маршала Георгия Константиновича Жукова.
С 1971 по 1977 год Борис Галкин работал актёром и режиссёром в театрах Москвы и Новгорода, в том числе актёром Московского театра драмы и комедии на Таганке.
В 1977 году окончил режиссёрское отделение высших театральных курсов при ГИТИСе.
Борис Галкин написал сценарий к фильмам «Отставник 5», «Отставник 6» и «Помнишь запах сирени», в последнем выступил ещё и в качестве режиссёра. Галкин является режиссёром фильмов «Поручить генералу Нестерову…», «22 июня, ровно в 4 часа…», «Чёрный клоун», «Мужской талисман». На многих кинопроектах был продюсером, а в фильме «Игра» – и композитором.
С 1996 года – заместитель директора по производству на киностудии имени М. Горького.
С января 2005 по 18 апреля 2008 года был президентом Гильдии актёров кино России.
С апреля 2003 по июнь 2018 года являлся ведущим программы «Служу Отчизне!» на «Первом канале».
Борис Галкин награждён Серебряной медалью имени А. П. Довженко (1978) за исполнение роли лейтенанта Тарасова в кинофильме «В зоне особого внимания» (1977). В 1981 году актёру присуждена премия Ленинского комсомола за воплощение образов современников в кино и высочайшее исполнительское мастерство, а 2017 году – премия Министерства обороны Российской Федерации в области культуры и искусства.