Элем Германович Климов родился 9 июля 1933 года в Сталинграде (в настоящее время – Волгоград). Хотя имя Элем традиционно расшифровывается как аббревиатура «Энгельс, Ленин, Маркс», младший брат Герман, позже утверждал, что родители назвали старшего сына в честь Элама Харниша, главного героя книги «Время-не-ждёт» Джека Лондона. В 1941 году Элем должен был пойти в школу, но её закрыли. Когда немцы начали бомбить Сталинград, мать с двумя сыновьями и бабушкой отправили в эвакуацию на Урал, под Свердловск (ныне – Екатеринбург). В 1957 году Климов окончил Московский авиационный институт, работал инженером-конструктором на одном из московских заводов, а также сотрудничал с молодёжными редакциями Всесоюзного радио и Центрального телевидения. Ещё во время учёбы во ВГИКе Элем Климов в качестве курсовой работы снял два короткометражных чёрно-белых фильма. Комедийный фильм «Жиних» (1960) без слов с намеренной орфографической ошибкой в названии удостоен премии на кинофестивале студенческих фильмов ВГИКа. Сам режиссёр впоследствии так вспоминал о создании этого фильма: «В конце второго курса во ВГИКе надо было сделать короткометражку: немой этюд — сочинить органичную ситуацию без слов. Так и возник восьмиминутный «Жиних». Идёт контрольная по арифметике в четвёртом классе. Учительница читает «Ромео и Джульетту». А мальчик и девочка за партой переживают свою историю любви. Музыку нам преподавал Микаэл Таривердиев. Увидев готовый материал, он сразу предложил озвучить сюжет темой из прокофьевского балета «Ромео и Джульетта». Всем было ясно: не пропустят. Но Таривердиев обещал пробить. И пробил…».Во втором студенческом фильме «Смотрите – небо» (другой вариант – «Смотрите, небо!»), снятом в 1962 году, рассказывается о мечте о космосе, главные роли, как и в первом фильме, исполняют дети. В 1964 году Элем Климов окончил режиссёрский факультет ВГИКа. Его дипломной работой стала полнометражная сатирическая кинокомедия «Добро пожаловать, или Посторонним вход воспрещён», имевшая большой успех. Следующий фильм режиссёра «Похождения зубного врача», снятый в 1965 году, вышел на экраны лишь в 1967 году тиражом всего 25 копий. Таким образом, его практически никто не видел. Повторный выпуск фильма в прокат состоялся только 20 лет спустя. В 1974 году совместно с Германом Лавровым и Марленом Хуциевым Климов завершил фильм своего учителя Михаила Ромма «И всё-таки я верю…». В 1975 году Климов закончил съёмки посвящённого Григорию Распутину фильма «Агония», который вышел на отечественный экран спустя десять лет. Позднее Климов говорил, что и сам не был доволен этой картиной. В 1979 году жена Элема Климова Лариса Шепитько приступила к съёмкам фильма по повести Валентина Распутина «Прощание с Матёрой», однако вскоре погибла в автокатастрофе. В итоге фильм под названием «Прощание» снял сам Климов, посвятив его памяти жены. В 1980 году режиссёр снял по собственному сценарию документальный фильм «Лариса» о Ларисе Шепитько. Последним фильмом режиссёра стала военная драма «Иди и смотри» (1985), отмеченная главным призом XIV Московского международного кинофестиваля. В конце 1980-х годов Элем Климов намеревался экранизировать роман Михаила Булгакова «Мастер и Маргарита», для которого совместно с братом Германом написал сценарий, однако этот замысел так и остался невоплощённым. Не были сняты и «Бесы» по роману Достоевского — «по экономическим мотивам». С 1986 по 1988 год Элем Климов являлся первым секретарём правления Союза кинематографистов СССР. В 1989 году Климов принимал участие в работе над фильмом Фреда Скеписи «Русский дом» по роману Джона ле Карре. В титрах ему была выражена благодарность. Умер Элем Климов 26 октября 2003 года. Похоронен на Троекуровском кладбище рядом с родителями.