После школы Игорь Скляр поехал поступать в творческие вузы Москвы и Питера. Маме, которая приехала его поддержать во время экзаменов в Ленинградский институт театра, музыки и кинематографии (ЛГИТМиК), сын пообещал, что в случае неудачи отправится поступать в политехнический. Но Игорь успешно сдал вступительные экзамены и был принят на курс известного режиссёра Льва Додина.
После окончания вуза в 1979 году Скляр уехал в Томск работать в местном ТЮЗе. Через сезон Игорь уволился и вернулся к себе на родину, в Курск, где отслужил в армии – в кавалерийском полку в Подмосковье. Вернуться к актёрской карьере Скляр смог после окончания срочной службы. В 1983 году он был принят в труппу Ленинградского Малого драматического областного театра.
В кино Скляр попал случайно. Он отправился с друзьями посмотреть Москву, где Игоря случайно увидел ассистент режиссёра киностудии имени Горького. Режиссёр Владимир Роговой готовился к съёмкам фильма «Юнга Северного флота» о подростках, которые в годы войны учились в школе юнг на Соловецких островах. Так роль юнги Коли Масленка стала первой в фильмографии Игоря Скляра. Затем будущий актёр сыграл ещё в одной картине Рогового «Горожане». А уже следующие роли в кинокарьере Скляра появились после окончания ЛГИТМиКа.
Середина 1980-х стала звёздным временем для молодого артиста. Слава пришла к Игорю Скляру с выходом в 1984 году на экраны фильма Карена Шахназарова «Мы из джаза». И на эти съёмки актёр попал случайно – просто по ошибке заглянул в другой павильон, а Шахназаров предложил попробоваться на роль Кости Иванова. В итоге за роль в картине «Мы из джаза» Игорь Скляр стал лауреатом премии за лучший дебют на фестивале «Молодость «Мосфильма».
Юрий Саульский так говорил об Игоре Скляре: «Его широкая, удивительно добрая улыбка стала как бы камертоном этой картины. С первого взгляда заметна его любовь к музыке: в том, как он садится за рояль, как поёт, двигается, видно, что он живёт музыкой».
В детстве Игорь Скляр мечтал стать музыкантом. Первый успех он познал ещё в школе. Но всенародную славу актёру как певцу принесло исполнение песни «Комарово», которую написал Игорь Николаев. Эта композиция прозвучала кинофильме «Начни сначала», а также 16-ом выпуске мультсериала «Ну, погоди!».
В конце 1980-х Скляру даже предлагали заняться исключительно сольной карьерой, но в этот момент артист успешно работал актёром Малого драматического областного театра и понял, что не готов оставить драматическое искусство. Песни в исполнении Игоря Скляра продолжали звучать в фильмах «Дети понедельника», «Жила-была мечта», «Начни сначала», «Диверсант. Конец войны» (композиция «Вельтмайстер»). С музыкой связан и образ танцора и хореографа Сергея Лифаря, воплощенный в биографической ленте «Анна Павлова».
Самыми популярными песнями Игоря Борисовича, помимо «Комарово», стали «Старый рояль» в дуэте с Ольгой Пирагс и «Суббота есть суббота».
На сцене МДТ актёр играл с 1983 по 2000 год. Позже Игорь Скляр решил покинуть репертуарный театр. На протяжении нескольких лет участвовал лишь в антрепризных спектаклях, а в 2006 году был принят в труппу Театра-фестиваля «Балтийский дом».
Если в 1980-х годах у Игоря Скляра было много удачных проектов, то в 1990-х актёр снимался достаточно редко. Можно отметить роли, исполненные Скляром в мелодраме «Дети понедельника» режиссёра Аллы Суриковой и в фильме «Год собаки» Семёна Арановича, снятых в этот период времени.
В 2000-х годах пришёл новый виток популярности Игоря Скляра. Актёр снялся в кинокартинах и сериалах «Романовы. Венценосная семья», «Московская сага», «Гибель империи», «В круге первом», «Шахматист», «Шерлок Холмс», «Екатерина. Взлёт», «Екатерина. Самозванцы», «Уходящая натура», «Под прикрытием» и других фильмах и сериалах. В 2015 году актёр был награждён призом Ассоциации продюсеров кино и телевидения в области телевизионного кино в категории «Лучший актёр второго плана в телефильме/сериале» за роль в сериале «Уходящая натура».
А ещё вместе с коллективом Jazz Classic Community Скляр играет в постановках, сочетающих джаз и литературу.
Игорь Скляр женат на актрисе Наталье Акимовой. Их сын Василий сначала не собирался идти по стопам родителей и по окончании школы поступил на факультет философии Санкт-Петербургского университета, но, по словам отца, понял, что «актёра в нём больше, чем философа», и также пошёл учиться в ЛГИТМиК. Василий сыграл в сериале «Семейный альбом». В настоящее время служит чтецом в Софийском соборе.
Игорь Борисович чувствует себя счастливым человеком: у него есть любимая семья, дом и интересные проекты. Актёр говорит, что дом – «можно сказать, хобби, но, с другой стороны, и какая-то жизненная установка. Мне хочется, чтобы что-то осталось на земле, и мой правнук сказал: «Этот дом построил ещё прадедушка». Высажу вокруг дома сад. И непременно заведу коня — это давняя моя мечта».