В 1974 году Стоянов поступил в ГИТИС. Его однокурсниками были Татьяна Догилева и Виктор Сухоруков, сосед Юрия по комнате в общежитии института. При этом Стоянов был самым младшим на курсе, а Сухоруков – самым старшим.
После окончания института в 1978 году играл в Большом драматическом театре имени Товстоногова, где работал актёром по 1995 год. В основном артисту доставались второстепенные роли и роли, в которых нужно было петь и играть на гитаре. Единственная большая роль Стоянова за время его работы в БДТ – Моцарт в спектакле «Амадеус».
Юрий Стоянов играл в спектаклях театра «Балтийский дом». В качестве приглашённого артиста работал в спектаклях в МХТ имени Чехова.
В кино Юрий Стоянов начал сниматься с 1974 года тоже в эпизодах. Например, в 1986 году снялся у Леонида Менакера в роли гусарского офицера, приятеля Дантеса в фильме о дуэли и последних днях жизни А. С. Пушкина «Последняя дорога».
Всенародную известность Юрий Стоянов получил после выхода на экраны телевизионной программы «Городок», которую актёр создал и вёл вместе с Ильёй Олейниковым с 1993 по 2012 год. Интересно, что оба друга родились в один день, но с разницей в 10 лет. В общей сложности за время существования проекта Юрий Стоянов и Илья Олейников сыграли более шести тысяч различных персонажей, в числе которых – Альберт Эйнштейн и Владимир Жириновский, Владимир Ленин и Алла Пугачёва. В 2012 году Юрий Стоянов тяжело переживал смерть друга и партнёра, объявив, что без Ильи Олейникова «Городка» не будет. В 2014 году Стоянов снял документальный фильм «Нам его не хватает», а вместе с сыном своего друга, Денисом Клявером, исполнил песню-посвящение «Режиссёр».
В 2000 году Стоянов получил главную роль музыкального продюсера в фильме «Ландыш серебристый» Тиграна Кеосаяна. В том же году снялся в фантастической комедии Дмитрия Астрахана «Алхимики».
Позже фильмографию актёра дополнили такие фильмы, как «Три мушкетёра» (2004), «Заяц над бездной», «Три полуграции» (2006), «12», «Шекспиру и не снилось», «Бальзаковский возраст, или Все мужики сво…», Королевство кривых зеркал» (2007), «Золотой ключик» (2009), «Zолушка», «Белая гвардия» (2012), «Крымский мост. Сделано с любовью!» (2018), «За кулисами» (2019) и многие другие.
С 2013 по 2015 год Юрий Стоянов вёл программу «Большая семья» на канале «Культура». Одновременно с осени 2013 по 2015 год также вёл музыкальное телешоу «Живой звук» на канале «Россия-1».
С 2015 года является советником дирекции филиала ФГУП ВГТРК ГТК «Телеканал Россия».
25 сентября 2015 года актёр принял участие в театрализованных онлайн-чтениях произведений А. П. Чехова «Чехов жив».
30 октября 2018 года согласно Указу Президента Российской Федерации Юрий Стоянов вошёл в состав Совета по Общественному телевидению.
В апреле 2020 года на портале YouTube зарегистрировал собственный канал, где размещает юмористические ролики на актуальные на момент выхода темы. Сюжеты снимаются в манере «Городка», а все роли исполняются одним Юрием Стояновым.