В кино дебютировал ещё студентом — получил роль матроса Камушкина в фильме Михаила Швейцера «Мичман Панин». Тогда же сыграл в дипломной работе Василия Шукшина «Из Лебяжьего сообщают». А уже с середины 60-х годов начались звездные роли Куравлёва. Его любимая – в фильме Василия Шукшина "Живет такой парень", где он сыграл первую в своей жизни главную роль шофера Пашки Колокольникова.
Родная стихия артиста – комедии, в которых он сыграл больше всего ролей. Сотрудничество с режиссером Леонидом Гайдаем в 1970-1980-х годах принесло Куравлёву всесоюзную известность. Среди лучших комедийных ролей актера – Шура Балаганов в "Золотом теленке" (1968) Михаила Швейцера, Афанасий Борщов в киноленте "Афоня" (1975) Георгия Данелии, Жорж Милославский в кинофильме "Иван Васильевич меняет профессию" (1973) и Володька Завитушкин в комедии "Не может быть" (1975) Леонида Гайдая.
Он стал и шукшинским актером, и гайдаевским. Часто снимался и в драматических и классических ролях, во многих знаковых фильмах советского времени, среди них «Семнадцать мгновений весны»
Леонид Куравлёв – народный артист РСФСР (1977). Кавалер ордена "Знак Почета". Лауреат Приза за творческий вклад в российский кинематограф кинофестиваля "Виват, кино России" (1999).
В 2006 году Леонид Куравлёв был удостоен ордена святого Александра Невского "За труды и Отечество", а в 2012 году награжден орденом "За заслуги перед Отечеством" IV степени.
В 2010 году в Ярославле была установлена скульптурная композиция с героями фильма "Афоня" – сантехником Афоней в исполнении Леонида Куравлёва и штукатуром Колей в исполнении Евгения Леонова.
Среди коллег Леонид Вячеславович давно прослыл закрытым человеком.
После смерти жены актер ведет затворнический образ жизни и окончательно ушел из искусства на пенсию. Последний фильм с его участием – «Весь этот джем» (2015), причем роль досталась второго плана. Больше на голубых экранах Леонид Вячеславович не появлялся.