Людмила появилась на свет в трагичное время - она родилась 24 января 1942 года в блокадном Ленинграде в самый разгар голода. Настоящее чудо, что девочка выжила. В 11 лет начала заниматься балетом. В 1962 году закончила Ленинградское хореографическое училище имени А.Я. Вагановой и работала в труппе театра оперы и балета имени С.М. Кирова (сейчас Мариинский театр). Танцевала в экранизированном балете «Спящая красавица», откуда и попала после многочисленных мучительных проб на роль Наташи Ростовой в фильм-эпопею Сергея Бондарчука по роману Льва Толстого «Война и мир». Первое время Людмила совмещала балет и съёмки, но это привело к сильнейшему истощению и потере сил, она начала падать в обмороки. Надо было выбирать, и девушка с лёгкостью выбрала съёмки у Бондарчука, ну а балет ей пришлось оставить. Никогда Савельева не жалела о сделанном выборе.
За эту работу Людмила получила диплом ММКФ в 1965 году, а в 1966 была признана лучшей актрисой по версии журнала «Советский экран». Кстати, получить оскаровскую статуэтку за фильм Сергей Бондарчук доверил именно Савельевой, от которой была в восторге западная пресса. После выхода фильма во Франции девочек стали называть в честь героини романа Льва Толстого, а Япония объявила 1972 год «Годом Людмилы Савельевой».
Тремя годами позже Людмила сыграла в совместном итало-франко-советском фильме «Подсолнухи», поставленном великими итальянцами - продюсером Карло Понти и режиссёром Витторио Де Сика. В кинокартине принимали участие итальянские звёзды – актёры Марчелло Мастроянни и Софи Лорен.
С середины 1980-х годов Людмила Савельева снялась в небольших ролях в культовых фильмах режиссёра Сергея Соловьёва «Чужая белая и рябой», «Чёрная роза - эмблема печали, красная роза - эмблема любви», «Нежный возраст», «Анна Каренина». Актриса снималась в картинах: «Бег», «Чайка», «Всадник без головы», «Седьмое небо». Исполняла роли в фильмах в дуэте с мужем Александром Збруевым «Шёл четвёртый год войны» и «Успех».
В 2001 году Савельева появилась в картине «Часы без стрелок», а в 2006 снялась в «Седьмом небе». В картине «Анна Каренина», которую зрители увидели в 2009 году, актриса сыграла княгиню Щербацкую.
Людмила Савельева надеется, что ей ещё представится возможность сыграть в кино.