Александр Борисович Белявский родился в Москве 6 мая 1932 года. В юности занимался в театральной студии под руководством актёра Леонида Вейцлера. Однако после окончания школы в 1949 году поступил на геологоразведочный факультет Московского института цветных металлов и золота. В 1955-м защитил диплом и уехал по распределению в Иркутск, где работал в Восточно-Сибирском геологическом управлении («Сосновгеология»).
В Иркутске Белявский дебютировал на сцене областного драмтеатра — сыграл Молчалина в самодеятельном спектакле «Горе от ума». Вернувшись в Москву, в 1957 году поступил в Щукинское театральное училище на курс Владимира Этуша. Тогда же Белявский дебютировал в кино — сыграл рабочего Колю в «Рассказах о Ленине».
В 1960 году получил первую большую роль — курсанта мореходного училища в картине «Спасите наши души». С отличием окончив Щукинское училище в 1961 году, поступил на работу в московский Театр сатиры. Также был приглашён в качестве ведущего на первые игры КВН.
С 1964 по 1966 годы Белявский был актёром труппы Московского драматического театра имени К. С. Станиславского (ныне — «Электротеатр Станиславский»).
В 1964 году снялся в главной роли в польском фильме «Прерванный полёт». За эту работу получил звание заслуженного деятеля культуры Польши. Во время съёмок начал учить польский язык и впоследствии снялся ещё в шести польских картинах, в том числе в сериале «Четыре танкиста и собака» (1966). На польском телевидении Белявский увидел программу «Кабаре старых панов» и загорелся идеей сделать нечто подобное в СССР.
С режиссёром Театра сатиры Георгием Зелинским они разработали сценарий передачи «Кабачок "13 стульев"». Эта программа начала выходить на Центральном телевидении в 1966 году. Роли завсегдатаев кабачка исполняли артисты Театра сатиры. В 1966—1967 годах программу вёл сам Белявский. Когда же у него начались съёмки в кино, ведущим стал Андрей Миронов. А дольше всего - с 1967 по 1980 год - программу вёл Михаил Державин.
В 1966 году Белявский перешёл на работу в Театр-студию киноактёра.
Среди его ранних киноролей — перспективный учёный-физик в фильме «Иду на грозу» по одноимённому роману Даниила Гранина, Кулагин в фильме «Их знали только в лицо», Володя в «Июльском дожде».
В 1970-х — 1980-х Белявский воплотил множество образов в кино, в основном в небольших ролях. Среди них физик Шельга в «Крахе инженера Гарина», Саша - друг Жени Лукашина в «Иронии судьбы, или С лёгким паром!», ювелир в одной из серий многосерийного фильма «Рождённая революцией», Фокс в «Место встречи изменить нельзя» и другие. Поздние роли Белявского: Леонид Брежнев в фильме «Серые волки» (1991), адмирал из комедии «ДМБ» (2000), криминальный авторитет в «Антикиллере» (2001). Всего артист сыграл более ста ролей в кино.
Александр Белявский много снимался за рубежом. Помимо работы в Польше артист играл в фильмах, снятых в ГДР, Северной Корее, Чехословакии, Франции, Финляндии и США.
В 1990-х Белявский много работал на телевидении: снимался в юмористических программах «Белый попугай», «В нашу гавань заходили корабли», «С лёгким паром», вёл программу «На здоровье». Играл в антрепризах. Также Белявский известен как мастер озвучивания. Его голосом говорили персонажи 90 иностранных фильмов и 20 рисованных героев. Он озвучивал Бенни Хилла в его юмористическом шоу, нескольких персонажей в фильмах про Анжелику, комиссара Наварро в одноимённом сериале, комиссара Каттани в «Спруте» и многих других.
В декабре 2003 года Белявский перенёс инсульт, после которого ему пришлось заново учиться говорить. До конца восстановиться актёр так и не смог. Тем не менее, время от времени появлялся в эпизодических ролях.
Одной из последних его работ стали съёмки в комедии «Ирония судьбы. Продолжение» (2007), где Белявский, как и прежде, исполнил роль одного из друзей Жени Лукашина, на этот раз без слов.
Отдыхать актёр предпочитал на даче. Рассказывал: «Обожаю возиться в земле, посадки — это на мне. Люблю пить чай из самовара со смородиновым вареньем».
Александр Белявский трагически погиб 8 сентября 2012 года, выпав из окна своего дома. Актёру было 80 лет. Похоронен в Москве на Кузьминском кладбище.