В школьные годы посещал литературный кружок, потом театральную студию в Доме пионеров имени Павлика Андреева на улице Большая Полянка, где заметившая его ассистентка режиссёра киностудии имени М. Горького предложила сняться в кино. Таким образом он дебютировал в кино ещё до поступления в театральный вуз, в 1968 году, сыграв роль в фильме режиссёра Юрия Победоносцева «Орлята Чапая». Съёмки фильма проходили в Крыму, поэтому он на это время был зачислен на учёбу в одну из ялтинских школ. 10-й класс окончил в вечерней школе, так как из средней общеобразовательной ушёл, работал станочником в экспериментальном цехе на фетрообувной фабрике, очень хорошо зарабатывал.
После школы сдавал экзамены в Школу-студию МХАТ (не был принят из-за невысокого роста), театральное училище имени Щепкина, ГИТИС (на экзамене отметился скандалом с экзаменатором), дважды поступал в Щукинское училище. При первом поступлении кто-то из приёмной комиссии спросил: «Молодой человек, у вас же нет глаз. Что вы будете делать с таким лицом на сцене?». Со второго раза, также недобрав проходной балл, был принят по дополнительному набору. С его слов, написанное им на вступительных экзаменах сочинение вошло в историю училища как рекордное по числу грамматических и стилистических ошибок.
Студентом снялся в телевизионном сериале «Назначение» с Еленой Кореневой и Анатолием Азо (режиссёр Владимир Семаков). Благодаря партнёрше по фильму познакомился с её отцом — режиссёром Алексеем Кореневым — и получил приглашение сниматься в фильме «Большая перемена» в роли Генки Ляпишева.
В 1973 году окончил театральное училище имени Б. Щукина, был принят в Театр на Таганке, но там не сработался с коллективом. В том же году получил предложение от Марка Захарова перейти в Московский театр Ленинского комсомола, где сразу сыграл роль Палача в «Тиле Уленшпигеле».
С 1988 года стал играть в театре имени М. Н. Ермоловой. В штате театра числился с 1990 по 1994 год. В августе 2012 года окончательно покинул театр по собственному желанию, так как около 20 лет не выходил на сцену.
Массовому теле- и кинозрителю стал широко известен после исполнения ролей Гены Ляпишева в телефильме «Большая перемена» и капитана погранвойск КГБ СССР Блинова в кинофильме «Выйти замуж за капитана».
Среди запомнившихся киноперсонажей Проскурина — Герман в «Пиковой дамы», Петька в драме «Белорусский вокзал» (1970, режиссёр Андрей Смирнов), Кирилл Круглов в комедийной мелодраме «Однажды двадцать лет спустя» (1980, Юрий Егоров), Тадеуш Шолто в фильме «Сокровища Агры» из детективного цикла «Приключения Шерлока Холмса и доктора Ватсона» (1983, Игорь Масленников), Новиков в мелодраме «Военно-полевой роман» (1983, Петр Тодоровский), Василий Данилович Вожеватов в фильме «Жестокий романс» по пьесе Александра Островского «Бесприданница» (1984, Эльдар Рязанов), а также И. В. Сталин, которого актёр сыграл в фильме по повести Б. Пильняка «Повесть непогашенной луны».
Актёр снимался в фильмах: «Офицеры», «Весенний призыв», «12 стульев», «Школьный вальс», «Шла собака по роялю», «ТАСС уполномочен заявить», «Жизнь Клима Самгина», «Афганский излом», «Шкура», «Гагарин. Первый в космосе», «А зори здесь тихие» (2015), «Грааль», а также в телесериалах: «Дальнобойщики», «Сыщики», «Час Волкова», «Ищейка» и многих других.
Последняя роль Проскурина - профессор Борис Панин в остросюжетном телефильме «Чёрное море» (2020, Сергей Щербин). В общей сложности Виктор Проскурин снялся в более чем 100 фильмах и сериалах.
Актёр принимал участие в озвучивании ряда мультипликационных фильмов («Вредный совет», «Уважаемый леший», «Записки Пирата» и других).
В середине 1990-х годов попал в автоаварию, получил травму ноги, после которой несколько лет ходил с тростью. В мае 2007 года перенёс сложную операцию на суставах кисти руки из-за старой травмы.
В первой половине 2010-х годов являлся руководителем мастерской театрального факультета Московского института телевидения и радиовещания «Останкино».
Был членом Союза кинематографистов России.
Скончался 30 июня 2020 года. Похоронен на Троекуровском кладбище в Москве.